Como conte en este post, para resolver el problema del post anterior, hice una serie de pruebas cuyos resultados se pueden ver aca. Me quedo un cubo triangularmente cortado de resultados de variaciones de los parámetros de la función descripta. Para acelerar un poco los tests, una vez que conseguí una solución (cuya demostración se puede encontrar en una hermosa versión typesetada en LaTeX acá) la programe en python usando técnicas de programacion dinámica. Esta versión se puede encontrar aqui.
Lo interesante fue que me quedaron varias secuencias de números y decidí ir a OEIS para testearlo. Me encontré entonces con una serie de resultados interesantes que decidí publicar acá para revisarlos mas adelante.
Resultados simples
- Si m=n=k , la función devuelve una permutación. m!
- si m=n, m<k => f(n, m, k) = k!/(k-m)!
Resultados interesantes
n libre, m=3, k=4
Devuelve permutación(4) * Stirling numbers of second kind, S(n,3) ( http://oeis.org/A000392 )
n libre, m=4, k=4
Devuelve permutación(4) * Stirling numbers of second kind, S(n,4) ( http://oeis.org/A000453 )
n libre, m=3, k=5
Devuelve 5*4*3 * Stirling numbers of second kind, S(n,3) ( http://oeis.org/A000392 )
n libre, m=4, k=5
Devuelve 5*4*3*2 * Stirling numbers of second kind, S(n,4) ( http://oeis.org/A000453 )
n libre, m=5, k=5
Devuelve 5*4*3*2 * Stirling numbers of the second kind, S(n,5) (http://oeis.org/A000481 )
n libre, m=3, k=6
Devuelve 5*4*3*2 * Stirling numbers of second kind, S(n,3) ( http://oeis.org/A000392 )
n libre, m=4, k=6
Devuelve 6*5*4*3 * Stirling numbers of second kind, S(n,4) ( http://oeis.org/A000453 )
n libre, m=5, k=6
Devuelve 720 * Stirling numbers of the second kind, S(n,5) ( http://oeis.org/A000481 )
Parece existir algún tipo de patrón, lamentablemente no tengo el tiempo en este momento y sobre todas las cosas el nivel de matemática suficiente como para investigarlo un poco más. Escribo este post más que nada para revisarlo nuevamente después de haber pasado por Concrete Mathematics, que todavía no pude estudiar.
Algún otro resultado
n=2, m=2, k libre
Oblong (or promic, pronic, or heteromecic) numbers: n(n+1) ( http://oeis.org/A002378 )
n=3, m=2, k libre
6 times triangular numbers: a(n) = 3*n*(n+1) ( http://oeis.org/A028896 )
Da la sensación de que jugando con las variables del cubo se encontrarían un montón de resultados interesantes.
